կիրակի, 22.10.2017, 20:11
Ողջույն Հյուր | RSS

Մաթեմատիկական Խմբակ

Բաժնի անվանակարգերը
Մեր հարցումը
Ձեզ դուր է գալիս մեր կաքը
ընդամենը քվեարկելեն: 58
Վիճակագրություն

Այս պահին օնլայն են 1
Հյուրեր 1
Գրանցվածներ 0

Каталог статей

Գլխավոր էջ » Հոդվածներ » Мои статьи

ԴԻՐԻԽԼԵՅԻ ՍԿԶԲՈՒՆՔԸ
Եթե 4 (կամ n) վանդակներում նստած են 5-ից (կամ n+1 ից) ոչ պակաս ճագարներ, ապա կգտնվի գոնե մեկ վանդակ որում նստած է 1-ից ավելի ճագար:
   Հետաքրքիր է, որ այս պարզ սկզբունքի շնորհիվ մաթեմատիկոսներին հաջողվում է լուծել շատ բարդ խնդիրներ, ապացուցել գեղեցիկ թեորեմաներ:
   Սկսենք պարզագույն խնդիրներից:
   

 

Խնդիր1. Ապացուցել, որ ցանկացած 15 մարդկանց մեջ կգտնվեն առնվազն երկուսը, որոնք իրենց ծննդյան օրը նշում են նույն ամսում:

Լուծում.    Ոնենք 12 ամիս: Եթե I մարդը ծնվել է ամսում, II-ը` II, III-ը`III XII-ը`XII, ապա 13-րդ մարդը, ուզեր թե չուզեր նշված 12-ից որևէ մեկի հետ նույն ամսում պետք է նշի իր ծննդյան օրը:

Հիմա խնդիրը լուծենք oգտվելով Դիրիխլեյի սկզբունքից:

Կարճ ասած ունենք 12 վանդակ (ամիս) և 15 ճագար (մարդ), քանի որ 12<15, ապա որևէ վանդակում կհայտնվեն առնվազն 2 ճագար:

      

Խնդիր 2. Ապացուցել, որ ցանկացած վեց բնական թների մեջ կգտնվեն երկուսը, որոնց տարբերությունը կբաժանվի 5-ի:

Լուծում  
    Ունենք 5վանդակ 0,1,2,3,4 , դրանք ցանկացած բնական թիվ 5-ի բաժանելիս ստացվող մնացորդներն են: Ունենք 6 
ճագար, դրանք այդ 6 թվերն են: Հարկավոր է այս 6 ճագարներին  տեղավորել 5 վանդակների մեջ:Քանի որ 5<6, ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի կգտնվի գոնէ 1 վանդակ որտեղ կհայտնվեն 2 ճագար,այսիքն երկու թվեր որոնք 5-ի բաժանելիս տալիս են նույն մնացորդը, հետևաբար նրանց տարբերությունը կբաժանվի 5-ի վրա: 
 

Խնդիր 3.  Դահլիճում  կա m մարդ: Ապացուցել, որ նրանց մեջ կգտնվեն երկուսը, որոնք ունեն նույն թվով ծանոթներ (ենթադրվում է, եթե A-ն ճանաչում է B-ին, ապա B-ն էլ ճանաչում է A-ին)

Լուծում 
m- ով նշանակենք այն մարդկանց քանակը, որոնք ունեն գոնե 1 ծանոթ (դրանք ճագարներն են):Այդ m մարդկանցից յուրաքանչյուրը կարող է ունենալ 1;2;3...; m-1 ծանոթներ (դրանք էլ վանդակներն են):Հետևաբար
կգտնվեն երկու մարդ, որոնք ունեն նույն թվով ծանոթներ:

Խնդիր4  2 միավոր կողմով հավասարասրուն եռանկյան ներսում գտնվում են 5 կետեր: Ապացուցել, որ այդ 5 կետերի մեջ կգտնվեն երկուսը, որոնց միջև
                        հեռավորությունը փոքր է  1-ից:                                                    

Լուծում.
Այդ եռանկյան կողմերի միջնակետերը միյացնելով կստանանք 4 հատ 1 միավոր կողմերով եռանկյունիներ: Այդ 5 կետերը պետք է տեղադրենք 4 եռանկյունիների մեջ: Ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի,այդ եռանկյունիներից մեկում կգտնվեն 2 կետ, որոնց միջև հեռաորությունը  փոքր է 1-ից:
     



Դրիխլեյի սկզբուքի մեկ այլ (ընդհանրացված) ձևակերպում. Եթե nk+1 ճագարներին տեղաորենք n վանդակների մեջ, ապա կգտնվեն  k+1 ճագարներ, որոմք կնկնեն միևնույն վանդակի մեջ:




Խնդիր 5   Դասարանում սովորում են 25 աշակերտ: Հայտնի ե,որ ցանկացած 3 աշակերտներից 2-ը ընկերներ են: Ապացուցել, որ կա աշակերտ,
                                        որը ունի 12- ից ոչ պակաս ընկեր:

Լուծում.    Ընտրենք 2 աշակերտներ ,որոնք ընկերներ չեն  (Այդպիսի աշակերտներ հաստատ կան): Ըստ խնդրի պայմանի, մնացած 23-ից յուրաքանչյուրը պեք  այս երկուսից մեկն ու մեկի ընկերը լինի, հակառակ դեպքում կունենանք 3 աշակերտ, որոնցից ոչ մի երկուսը ընկերներ չեն: Ստացվում է ունենք 23 ճագար և 2 վանդակ, 23=2*12+1, նշանակում է` որևէ վանդակում կա 12-ից ոչ պակաս ճագար:


Խնդիր 6   Ապացուցել, որ ցանկացած 40 մարդկանց մեջ կգտնվեն 4-ը, որոնք ծնվել են նույն ամսում:

Լուծում. Թող ամիսները լինեն վանդակները, իսկ մարդիկ` ճագարները: Քանի որ 40 = 12·3+4, ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի, կա վանդակ, որի մեջ կնկնեն  3+1=4 ճագար:



Որոշ խնդիրներ (հատկապես երկրաչափական) լուծելիս օգտակար են լինում Դիրիխլեյի սկզբունքի հետևյալ ձևակերպումները.

1.      Եթե l երկարությամբ հատվածի վրա տեղադրված են հատվածներ, որոնց երկարությունների գումարը մեծ է l-ից, ապա առնվազն երկու հատվածներ ունեն ընդհանուր կետ:

2.      Եթե S մակերեսով պատկերի մեջ տեղադրված են պատկերներ, որոնց մակերեսների գումարը մեծ է S-ից ապա այդ պատկերների մեջ կան առնվազն երկուսը, որոնք ունեն ընդհանուր կետ:

3.      Եթե F1, F2,…Fn  պատկերները, որոնք համապատասխանաբար ունեն S1, S2,…Sn մակերեսներ տեղադրենք S մակերես ունեցող F պատկերի մեջ և տեղի ունենա S1 + S2 + ... + Sn > kS ապա F1,F2, ... ,Fn պատկերներից (k+1)-ը կունենան ընդհանուր կետ:

 

Կատեգորիա: Мои статьи | Ավելացրեց: Պետրոս (13.08.2011)
Դիտումներ: 1267 | Մեկնաբանություններ: 1 | - Վարկանիշ -: 0.0/0
Մեկնաբանություններն ընդամենը՝: 0
Մեկնաբանություններ ավելացնել կարող են միայն գրանցված անդամները
[ Գրանցում | Մուտք ]
Մուտքի ձև
Որոնել
Ժամացույց
Գրառումների պահոց
Կայքի գործընկերները




Copyright MyCorp © 2017
Կայքերի կոնսրուկտոր - uCoz