Սկսենք պարզագույն խնդիրներից:
Խնդիր1. Ապացուցել, որ ցանկացած 15 մարդկանց մեջ կգտնվեն առնվազն երկուսը, որոնք իրենց ծննդյան օրը նշում են նույն ամսում:
Լուծում. Ոնենք 12 ամիս: Եթե I մարդը ծնվել է I ամսում, II-ը` II, III-ը`III … XII-ը`XII, ապա 13-րդ մարդը, ուզեր թե չուզեր նշված 12-ից որևէ մեկի հետ նույն ամսում պետք է նշի իր ծննդյան օրը:
Հիմա խնդիրը լուծենք oգտվելով Դիրիխլեյի սկզբունքից:
Կարճ ասած ունենք 12 վանդակ (ամիս) և 15 ճագար (մարդ), քանի որ 12<15, ապա որևէ վանդակում կհայտնվեն առնվազն 2 ճագար:
Խնդիր 2. Ապացուցել, որ ցանկացած վեց բնական թների մեջ կգտնվեն երկուսը, որոնց տարբերությունը կբաժանվի 5-ի:
Լուծում Ունենք 5վանդակ 0,1,2,3,4 , դրանք ցանկացած բնական թիվ 5-ի բաժանելիս ստացվող մնացորդներն են: Ունենք 6 ճագար,
դրանք այդ 6 թվերն են: Հարկավոր է այս 6 ճագարներին տեղավորել 5
վանդակների մեջ:Քանի որ 5<6, ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի կգտնվի գոնէ 1
վանդակ որտեղ կհայտնվեն 2 ճագար,այսիքն երկու թվեր որոնք 5-ի բաժանելիս տալիս են նույն մնացորդը, հետևաբար նրանց տարբերությունը կբաժանվի 5-ի վրա:
Խնդիր 3. Դահլիճում կա m մարդ:
Ապացուցել, որ նրանց մեջ կգտնվեն երկուսը, որոնք ունեն նույն թվով
ծանոթներ (ենթադրվում է, եթե A-ն ճանաչում է B-ին, ապա B-ն էլ ճանաչում է
A-ին)
Լուծում
m- ով նշանակենք այն մարդկանց քանակը, որոնք ունեն գոնե 1 ծանոթ (դրանք
ճագարներն են):Այդ m մարդկանցից յուրաքանչյուրը կարող է ունենալ 1;2;3...;
m-1 ծանոթներ (դրանք էլ վանդակներն են):Հետևաբար կգտնվեն երկու մարդ, որոնք ունեն նույն թվով ծանոթներ:
Խնդիր4 2 միավոր կողմով
հավասարասրուն
եռանկյան
ներսում
գտնվում
են
5 կետեր: Ապացուցել, որ
այդ
5 կետերի մեջ կգտնվեն երկուսը, որոնց
միջև
հեռավորությունը փոքր է 1-ից:
Լուծում.
Այդ եռանկյան կողմերի միջնակետերը միյացնելով կստանանք 4 հատ 1 միավոր
կողմերով եռանկյունիներ: Այդ 5 կետերը պետք է տեղադրենք 4 եռանկյունիների
մեջ: Ըստ Դիրիխլեյի սկզբունքի,այդ եռանկյունիներից մեկում կգտնվեն 2 կետ,
որոնց միջև հեռաորությունը փոքր է 1-ից:
Դրիխլեյի սկզբուքի
մեկ այլ (ընդհանրացված) ձևակերպում. Եթե nk+1 ճագարներին տեղաորենք n վանդակների մեջ, ապա կգտնվեն k+1 ճագարներ, որոմք կնկնեն միևնույն վանդակի մեջ:
Խնդիր 5 Դասարանում սովորում
են 25 աշակերտ: Հայտնի ե,որ ցանկացած 3 աշակերտներից 2-ը ընկերներ են: Ապացուցել, որ
կա աշակերտ,
որը ունի 12- ից ոչ պակաս ընկեր:
Լուծում. Ընտրենք
2 աշակերտներ ,որոնք ընկերներ չեն (Այդպիսի
աշակերտներ հաստատ կան): Ըստ խնդրի պայմանի, մնացած 23-ից յուրաքանչյուրը պեք այս
երկուսից մեկն ու մեկի ընկերը լինի, հակառակ
դեպքում կունենանք 3 աշակերտ, որոնցից ոչ մի երկուսը ընկերներ չեն:
Ստացվում է ունենք 23 ճագար և 2 վանդակ, 23=2*12+1, նշանակում է` որևէ
վանդակում կա 12-ից ոչ պակաս ճագար:
Խնդիր 6 Ապացուցել, որ
ցանկացած 40 մարդկանց մեջ կգտնվեն 4-ը, որոնք ծնվել են նույն ամսում:
Լուծում. Թող ամիսները լինեն
վանդակները, իսկ մարդիկ` ճագարները: Քանի որ 40
= 12·3+4, ըստ
Դիրիխլեյի սկզբունքի, կա վանդակ, որի մեջ կնկնեն
3+1=4 ճագար:
Որոշ խնդիրներ (հատկապես
երկրաչափական) լուծելիս օգտակար են
լինում
Դիրիխլեյի
սկզբունքի
հետևյալ
ձևակերպումները.
1. Եթե
l երկարությամբ հատվածի վրա տեղադրված են հատվածներ, որոնց
երկարությունների գումարը մեծ է l-ից, ապա առնվազն երկու հատվածներ ունեն ընդհանուր կետ:
2. Եթե
S
մակերեսով
պատկերի
մեջ
տեղադրված
են
պատկերներ,
որոնց
մակերեսների
գումարը
մեծ
է
S-ից ապա այդ պատկերների մեջ կան
առնվազն երկուսը, որոնք ունեն ընդհանուր կետ:
3. Եթե F1, F2,…Fn պատկերները, որոնք
համապատասխանաբար ունեն S1, S2,…Sn մակերեսներ տեղադրենք S
մակերես ունեցող F պատկերի մեջ
և
տեղի
ունենա
S1
+ S2 + ... + Sn > kS ապա
F1,F2,
... ,Fn պատկերներից
(k+1)-ը կունենան ընդհանուր կետ: